О кинематике равноускоренного движения.
Движение материальной (.) с места.
Задан промежуток
времени T, в течение
которого материальная точка двигается с постоянным ускорением a. Необходимо составить уравнение движения при заданном
постоянном ускорении, определить в
любой момент времени скорость v и
пройденный путь s.
Разобьем
заданный промежуток времени на n-сколь угодно малых равных частей Dt.
Тогда при движении с
места на первом промежутке
Скорость
v1 = s1/Dt
Ускорение a=(vi+1-vi)/t рассчитывается как отношение разницы
скоростей на двух интервалах времени, являющихся общим для них временем
движения. При отсутствии предыдущего интервала, что означает движение
с места и равенство начальной скорости нулю,
Ускорение при
подстановке v0=0 численно равно скорости прохождения первого
отрезка пути за заданный интервал времени.
a=(vi+1-vi)/t = v1/Dt , а
ускорение величина постоянная для всех интервалов времени.
То есть скорость на первом временном интервале не
может быть иной, чем это задано в ускорении.
Очевидно, что приращение скорости
на каждом следующем интервале времени, величина постоянная, так же как и
приращение пути. Отношение приращения
скорости к одному интервалу времени так же является ускорением. Так как по формуле a=(Vi+1-Vi)/t имеется в наличии два
разных отрезка пути, пройденные каждый за равный интервал времени, то эти
интервалы складываются, то есть делим на два временных
интервала и это общее время движения на данных интервалах. В случае, когда
отсутствует первый интервал (начальная скорость – v0 равна нулю) величина
скорости автоматически становится численно равной ускорению. Естественно и в
расчетной формуле для ускорения будет время прохождения только одного интервала
пути. Размерность ускорения на первом
интервале имеет размерность скорости.
на втором промежутке
времени:
v2=v1+
Dv, где Dv=v2-v1 –
приращение скорости, Ds=s2-s1 приращение
пути
a=(v2-v1)/
t= Dv/t =const,
причем для ускорения на
этом и последующем интервалах времени берется удвоенное значение интервала в качестве времени t =2Dt - общего времени движения на двух интервалах.
на третьем промежутке
времени:
v3=v2+ Dv=v1+ Dv+ Dv =v1 +2 Dv, a=(v3-v2)/
2Dt =
Dv/2Dt
=const
на n-ом промежутке времени:
vn=v1 + n-1Dv a= Dv/2Dt=const
таким образом, общая скорость движения на каждом интервале
является суммой скоростей на всех предыдущих интервалах плюс приращение
скорости, которое является величиной постоянной
в силу определения постоянного
ускорения.
общая скорость V на
всем пути является суммой скоростей на
всех интервалах
V=v1+v2+v3+…+Vn
Тогда в силу
разбиения процесса на одинаковые интервалы времени
Путь, пройденный за любой интервал времени,
являющийся количеством отдельных временных отрезков n=t
tvn=tv1+ tDv
Естественно скорость
на каждом интервале времени будет определяться путем, который будет
увеличиваться пропорционально росту скорости, причем для первого интервала путь
берется из ускорения. На последующих интервалах времени путь берется из
скорости.
Общий путь является
суммой отдельных отрезков пути для всех равных интервалов времени.
S=VT=v1Dt + Dvt=s1+s2+s3+…+sn
Или в другой записи
При a=Dv/Dt и наличии начальной скорости
S=v0t+at2
Обратная задача
решается подстановками v0=0
a=(v-v0)/t=v/t
Данное представление не зависит от величины начальной
скорости, в отличие от общепринятой записи в школьных учебниках.
S=v0t+at2/2
Где подобная подстановка приводит к неверному
результату
«и вылезанию»
½ или к половине пути.
По всей видимости, представление, предлагаемое в виде
классического из учебника по матанализу
«интегрального» решения, без учета движения с места не является верным.
Ниже прилагается численный пример всех вычислений.
Для ускорения 1метр/сек2 и
времени движения 5 секунд
Первая строка-секунды
Вторая строка – отрезки пути на каждой секунде.
Третья строка – метры пути, отмечены черточками и
цифрой в конце каждого интервала времени, рассчитываются по формуле S=at2
Четвертая строка-Предыдущий
путь с приращением
Пятая строка-скорость прохождения отрезка пути за
интервал времени
Шестая строка-скорость за прошедшие секунды
Секунды
1 2 3 4 5
Si 1 3 5 7 9
метры _1_ _ _ 4_ _ _ _ _9_ _ _ _ _ _ _16_ _ _ _ _
_ _ _ _25
Si-1+ds 1+2 3+2 5+2 7 + 2
Vi= Si-1+ds 1
3 5 7 9
--------
Dt
V 1 4 9 16 25
Это скорость не 25м/сек, а
двадцать пять метров за пять секунд
25м/5cек – общая скорость прохождения пути за заданное время,
вроде как средняя в классическом расчете для равномерного движения. Верно для каждой скорости: метры за количество временных
интервалов.
Реальная скорость будет скоростью на
последнем интервале времени и составит 9 м/сек
Приведенное в статье решение в достаточной степени определяет и выводы,
приведенные в статье http://fatyf.narod.ru/newton.htm о целесообразности
введения понятия работы и энергии.
P.S.
при торможении скорость падает до нуля, и это тоже
сумма скоростей на каждом интервале времени взятых с отрицательным знаком. то
есть последовательность обратная суммированию. На каждом интервале времени
проходится участок меньший на величину определяемую значением приращения(уменьшения) скорости.
В дополнении данного приводится разбор
«доказательств», публикуемых ныне во
всех без исключения учебниках по физике и математическому анализу, связанных с
кинематикой равноускоренного движения.
Также приводится экспериментальный пример,
подтверждающий
справедливость
выражения S=v0t+at2
http://fatyf.narod.ru/cinema1.htm
Все это относится и к равноускоренному падению тел под
действием силы тяжести..
В своей последней книге Галилей сформулировал правильные законы падения: скорость нарастает пропорционально времени, v=s/t а путь — пропорционально квадрату времени.[76] s=at^2
замечу, не половине этого квадрата! Ну и само собой не половине ускорения.
Таким образом, ускорение свободного падения на
земле с учетом высказанного составляет
не 9.8 м/сек2, а 19.6
м/сек2!!!!!!!!!!!
Разбор опытов с математическим маятником приведен в
http://fatyf.narod.ru/cinema6.htm
Фатьянов А.В. Спб.
22.01.2011 уточняющие исправления 11.10.2011
Материал защищен, и копирование без ссылок
на автора, а так же использование без ссылок
материалов данной статьи будет преследоваться по закону.